Článek o podivuhodnosti nekonečna a nekonečných množin.

Toto je jeden ze základních a dle mě velmi hezkých důkazů v teorii množin, se kterým poprvé přišel, myslím, geniální matematik Georg Cantor. V článku se pokusím spíše o popularizační a intuitivně pochopitelný výklad. Zvídavý čtenář si téma asi snadno promyslí pečlivěji a podrobněji, příp. si to někde něco dohledá.

Jde tu o to, jaký je počet všech racionálních čísel. Řeknete si, jistě nekonečný... ale jak? Pro běžného člověka asi stupidní otázka, ovšem podíváme-li se blíže...

Nejprve k nekonečnu samotnému. Uvažujme množinu všech přirozených čísel, tj. N = (1, 2, 3, 4, ... atd. ). Nazvěme počet všech prvků této množiny nekonečnem prvního řádu.
Klidně k němu můžeme přidat další číslo - to ovšem nedává dost dobrý smysl, protože nekonečno je, laicky řečeno, vlastně neustálé přidávání dalších a dalších čísel, které nikdy nekončí (tak mě to aspoň teď napadlo vyjádřit). Lepší než přidávat „odzadu", bude tedy přidávat „odpředu". Ke 2. množině přirozených čísel přidejme ještě jedno, nulu.

Obě množiny k sobě takto přiřaďme:
1       2       3       4       5       6    ...                                     (1. množina)
↓        ↓       ↓        ↓       ↓        ↓
0       1       2       3       4       5    ...                                     (2. množina)

A vidíme, že v obou množinách je stejně mnoho čísel. Dokázali jsme každému prvku jedné množiny jednoznačně přiřadit prvek druhé množiny, takže jich prostě musí být stejný počet. Tady je každému n přiřazeno n - 1 . Takto se v matematice teorii množin právě obecně postupuje při porovnávání počtů prvků nekonečných množin.

∞ + 1 = ∞                                              (1)

Indukcí lze dokázat, že obecně pro každé přirozené k je: ∞ + k = ∞
(Tím také v zobrazení (přiřazení) uvedeném výše bude každému n přiřazeno n - k)

Teď kolik je třeba všech sudých čísel? Vyznačíme-li si je: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... očividně si asi řekneme, že jich je polovina z počtu všech přirozených čísel. No, tak to právě není. Je jich zase stejně. Nevěříte?

Rozepišme si to jinak. Podobně jako výše přiřaďme k sobě:
1       2       3       4       5       6    ...                                    (množina přirozených)
↓        ↓       ↓        ↓       ↓        ↓
2       4       6       8      10     12   ...                                    (množina sudých)

A teď je také očividně vidět, že jich je stejně. Zapsáno obecně, každému přirozenému n jsme přiřadili 2n. Klidně mu můžeme přiřadit i 3n, 4n, obecně vlastně jakékoli kn **, kde k je přirozené. Takže je stejně jako všech přirozených čísel jakýchkoli jejich přirozených násobků.

Symbolicky zapsáno jako výše:

k. ∞ = ∞                                                 (2)

Pro nekonečno jaksi platí „jiné zákony" a proto je tak fascinující.

Pro úplnost, podle tohoto principu je navíc stejně záporných celých čísel (která jsou „zrcadlovým obrazem" čísel přirozených, počínaje -1) a dle (2) je stejně i obou dohromady. Přidáme-li k nim nulu, dle (1) to počet nezmění a máme tam tak všechna celá čísla.

Nyní racionální čísla. Co to je?

Racionální číslo je definované jako podíl dvou celých čísel (označme p a q). Zapisujeme: a = p/q. To znamená, že každé racionální číslo můžeme zapsat jako uspořádanou dvojici [p, q]. A zase, kolik jich všech je?
Když si to představíme, vezměme p = 1 a jemu přiřaďme všechna možná q (první skupina). Nyní p = 2 a zase všechna možná q (druhá skupina). Takto podle všech možných p dostaneme nekonečně mnoho (prvního řádu) skupin, z nichž v každé je stejně nekonečně mnoho čísel. To už je opravdu trochu moc. Zase však můžeme tvrdit, že se tento počet rovná původnímu nekonečnu.

Očíslování nejlépe provedeme v následující tabulce, kde pořadí sloupce udává p a pořadí řádku q.

a tak dále...

Kdybychom to číslovali po jednotlivých řádcích či sloupcích, asi bychom se nedopočítali. Zkusme to ale takto:

a tak dále...

Číslujeme vlastně "obvody" stále větších čtverců. Nakonec to zaplní celý nekonečný čtverec všech nezáporných racionálních čísel, takže jsme je skutečně všechny očíslovali jen přirozenými čísly. Hezké, ne?

Kladná racionální čísla se nacházejí v jednom ze čtyř stejně početných kvadrantů, takže dle (2), kde k = 4, je potvrzen tento počet pro všechna racionální čísla.

Symbolicky ještě zapišme:

∞ .∞ = ∞

Stejný princip můžeme induktivně aplikovat i na důkaz, že stejně mnoho je všech uspořádaných trojic, čtyřtic... až k-tic, kde k zase možno neomezeně zvětšovat.
Symbolicky ∞^k = ∞

Krom toho, opomněli jsme, že více některých uspořádaných dvojic [p, q] vyjadřuje stejné racionální číslo. To je známé rozšíření zlomků - čitatel p i jmenovatel q je vynásoben stejným koeficientem (číslem), takže je jejich podíl stejný. Proto z výčtu všech našich uspořádaných dvojic je nutno všechny tyto rozšířené zlomky vyřadit a nechat tam de facto jen zlomky v základním tvaru, tj. podíl čísel nemajících společné dělitele.
Vezměme jeden konkrétní zlomek v základním tvaru: a₀ = p₀/q₀ . Ostatní uspořádané dvojice, které dávají v podílu stejnou hodnotu jako tato základní, jsou [kp₀, kq₀], kde k je nenulové celé číslo. Ty všechny kromě k = 1 vyřadíme. Označme je jako množinu vyřazených (zkráceně OUT). Je zřejmé, že OUT je podmnožinou (součástí) celého Q (všechna racionálního čísla), ovšem nerovná se celému Q. Má stejný počet prvků. To může znít divně, ale vezměme to tak, že počet prvků je jakási abstraktní vlastnost množin. A máme prostě různé množiny, které ovšem mají společnou jednu vlastnost - počet prvků. Proč ne?
No a „odečteme-li" OUT od Q, dostaneme zbytek, který má také stejný počet prvků (viz (2)). Takto odečteme všechny OUTy , a nakonec nám zbyde to, co hledáme, všechna racionální čísla.

Když jsme toto vše konečně dokázali, svádí to k doměnce, že stejně bude i všech reálných čísel (ta se dají zobrazit třeba jako všechny body na spojité přímce). Tady už je to omyl, těch je více. Je to nekonečno vyššího řádu.

*pozn. pro pedanty: Tento (1) zápis je jen zjednodušeně symbolický. Ve skutečnosti symbol ∞ neoznačuje nějaké konkrétní číslo, ale spíše vlastnost, že počet prvků množiny, kterou uvažujeme, není omezený - můžeme říct nekonečný. Potom i když k této množině přidáme libovolný počet prvků, zůstane „stejně neomezená" - bude pro ni platit stejná vlastnost vyjadřovaná symbolem ∞ .

**Teoreticky mu můžeme přiřadit jakoukoli hodnotu f (n), kde f (n) je libovolná funkce na množině přirozených čísel, dávající zase přirozené číslo. Musí to být prostá funkce, tj. taková, která nemá žádné dvě funkční hodnoty stejné, aby přiřazení bylo vzájemně jednoznačné. Dosazením všech možných takových funkcí sem můžeme definovat spoustu dalších rozličných číselných množin, které s jistotou budou mít stejný počet prvků (a které mohou vypadat tak zvláštně, že bychom to o nich třeba ani ve snu netušili).